By Bernhard Haak

ISBN-10: 3937300325

ISBN-13: 9783937300320

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2) aber nur für p ≤ 2 erfüllt sein. Mit anderen Worten: quadratische L2 –Abschätzungen für A und A können nur im Hilbertraumfall p = 2 gelten. Ein ähnliches Beispiel finden wir in [7]: hier ist ebenfalls A = −∆ der negative Laplaceoperator in Lp (Rn ) und p > 2. Wählt man ψ(z) := z(1+z)−2 und u ∈ Lp , so folgt ∞ ψ(tA)u(·) 0 2 dt p t = ∞. 1), so ergibt sich ein anderes Bild: Für eine Funktion der Klasse H∞ 0 sei die Integraltransformation M durch (Mf)(λ) := F(f ◦ exp)(λ) = ∞ 0 t−iλ f(t) dt t gegeben.

0 0 Wieder zerlegen wir die Funktion ϕ0 (z) = zk e−z in ihre bekannte Darstellung ϕ0 (z) = ϕ(z)ψ(z), ϕ(z) = z (1 + z)−1 wobei die Wahl von ∞ ∈ (0, 1) auf später verschoben wird. Es entsteht α t 2 T−k (t)Bu(t), x 0 ∞ = und ψ(z) = zk− (1 + z)e−z , dt α −k 2 A−k ψ(tA−k )Bu(t), x −k ϕ(tA−k )t dt. 0 Wegen der Sektorialität von A sind die Operatoren A−k (µ+A−k )−1 , µ > 0 gleichmäßig beschränkt. Darüberinaus gilt limµ→0+ A−k (µ+A−k )−1 Bu = Bu in X−k . Setzen wir Bµ := A−k (µ+A−k )−1 B, so erhalten wir mit dem Lemma von Fatou ∞ ≤ lim inf µ→0+ α t 2 −k A−k −k ϕ(tA−k )ψ(tA−k )Bµ u(t), x dt 0 Das Einschmuggeln von Bµ erlaubt nun, die Operatoren ϕ(tA−k ) und A−k −k zu vertauschen: ∞ = lim inf µ→0+ 0 ∞ = lim inf µ→0+ α ϕ(tA−k )t 2 −k A−k −k ψ(tA−k )Bµ u(t), x t 1+α 1 −k −k 2 A−k ψ(tA−k )Bµ u(t), t− /2 ϕ(tA−k ) x dt 0 ≤ lim inf t → t µ→0+ dt 1+α −k −k 2 A−k ψ(tA−k )Bµ =:Lµ (t) u(t) ϕ(tA )x L2 (R+ ,X) L2 (R+ ,dt/t,X ) .

4 die Konvergenz des Integrals auf der rechten Seite als Bochnerintegral in X folgt und damit die Darstellung auf dem gesamten Definitionsbereich von CA−s richtig ist: für λ → 0 betrachten wir dazu die Abschätzung CR(λ, −A)s+1 = CA−1 AR(λ, −A) R(λ, −A)s ≤ M CA−1 · |λ|−s , sodaß wegen s < 1 die Konvergenz in Null gesichert ist. Für λ → ∞ gilt dahingegen nach Voraussetzung 1 1 CR(λ, −A)1+s = λ /2 CR(λ, −A) λ− /2 R(λ, −A)s ≤ const. λ−1− . Damit konvergiert das Integral also auf ganz X als Bochnerintegral und definiert einen beschränkten Operator, der CA−s fortsetzt.

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Kontrolltheorie in Banachraumen und quadratische Abschatzungen German by Bernhard Haak


by Michael
4.2

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