By C.Lardon, JM.Monier

ISBN-10: 2100566024

ISBN-13: 9782100566020

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32 a) 1) Existence : re 1 méthode : passage par les nombres complexes : Développer e i nt en utilisant la formule d’Euler et la formule du binôme de Newton, puis prendre la partie réelle. 23 Montrer, par récurrence à deux pas sur n, que, pour tout n ∈ N, il existe Tn convenant, de degré n et de coefficient dominant 2n−1 . 24 2) Unicité : Le reste R est de degré < 2, donc R est de la forme R = aX + b, (a, b) ∈ R2 . Prendre la valeur en i . a) Le reste est de degré < 2, donc R est de la forme R = λX + μ, (λ, μ) ∈ K2 .

Dunod. 13 Exemple de résolution d’équation dans C Résoudre l’équation d’inconnue z ∈ C : (E) 5z − 2|z| = 5 + 20 i . 14 Exemples de résolution de systèmes de deux équations à deux inconnues dans C Résoudre les systèmes d’équations, d’inconnue (u, v) ∈ C2 : ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪(1 + i )u + (2 − i )v = 1 + 4 i ⎨ a) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ i u + (1 − i )v = 2 i ⎧ ⎪ ⎪ (1 + i )u + v = 3 + 7 i ⎪ ⎪ ⎨ b) ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩u + v = 2 + i . 15 Exemple de manipulation de conjugués de nombres complexes Soit z ∈ C. Montrer : 1+z ∈ R ⇐⇒ z ∈ (R) ∪ ( i R).

Qui fait intervenir b) Dans la factorisation de X5 − 1 dans C[X] obtenue en a), regrouper les facteurs conjugués, en déduire la factorisation de X5 − 1 dans R[X], et identifier convenablement avec celle obte4π 2π , cos . Ensuite, nue en b), pour déduire les valeurs de cos 5 5 π 4π π π exprimer cos à partir de cos , puis sin à partir de cos . 17 Résoudre le système proposé, en simplifiant par u − v et en faisant intervenir la somme S = u + v et le produit P = uv. 18 Noter, pour tout n 1, an , bn , cn les coefficients respectifs de 1, X, X2 dans Pn .

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Mathématiques Méthodes et exercices 1re annee ECS by C.Lardon, JM.Monier


by Michael
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